Soal dan pembahasan Bab 1 Dimensi 3

 1. UN 2008

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah ...
A.  8√3
B.  8√2
C.  4√6
D.  4√3
E.  4√2

Pembahasan :

Jarak titik H ke garis AC adalah OH.
rusuk = a = 8
OH = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{8}{2}$√6 = 4√6

Jawaban : C


2. UN 2010
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong AH dan ED dan titik Q adalah titik potong FH dan EG. Jarak titik B ke garis PQ adalah ...
A.  √22  cm
B.  √21  cm
C.  2√5  cm
D.  √19  cm
E.  3√2  cm

Pembahasan :

Jarak titik B ke garis PQ adalah BR.
rusuk = a = 4

BP = BQ = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{4}{2}$√6 = 2√6
PQ = $\sqrt{P{S}^2+S{Q}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

BPQ sama kaki sehingga :
PR = RQ = $\frac{1}{2}$PQ = $\frac{1}{2}$(2√2) = √2

Perhatikan segitiga BPR siku-siku di R
BR = $\sqrt{B{P}^2-P{R}^2}$
BR = $\sqrt{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$
BR = $\sqrt{22}$

Jawaban : A


3. UN 2011
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ...
A.  4√6  cm
B.  4√5  cm
C.  4√3  cm
D.  4√2  cm
E.  4  cm

Pembahasan :

Jarak titik M ke garis AG adalah MO
a = 8

Perhatikan bahwa garis MN dan AG berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik O, sehingga
MO = $\frac{1}{2}$. MN
MO = $\frac{1}{2}$. a√2
MO = $\frac{1}{2}$. 8√2
MO = 4√2

Jawaban : D


4.  UN 2007
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6√3 cm. Jarak Bidang ACH dan EGB adalah ...
A.  4√3  cm
B.  2√3  cm
C.  4  cm
D.  6  cm
E.  12  cm

Pembahasan :

Jarak bidang ACH dan EGB = jarak garis OH dan BR = jarak titik P dan Q  ⇒ PQ.

rusuk = a = 6√3
OH = BR = $\frac{a}{2}$√6 = 9√2
OR = a = 6√3
HF = a√2 = 6√6
HR = $\frac{1}{2}$ × HF = 3√6
DF = a√3 = 18

Perhatikan bidang BDHF

OHRB adalah jajar genjang dengan alas OH dan tinggi PQ
Ingat : luas jajar genjang $=alas\times tinggi$

Luas jajar genjang OHRB = 2 × luas ⊿ OHR
OH × PQ = 2 × $\frac{1}{2}$×HR×OR
OH × PQ = HR × OR
9√2 × PQ = 3√6 × 6√3
⇒ PQ = 6

atau
DP = PQ = QF = $\frac{1}{3}$ × DF
DP = PQ = QF = $\frac{1}{3}$ × 18
⇒ PQ = 6

Jawaban : D


5. UN 2009
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus adalah 12 cm. Titik P terletak pada perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF adalah ...
A.  6√2  cm
B.  9√2  cm
C.  12√2  cm
D.  16√2  cm
E.  18√2  cm

Pembahasan :

Jarak titik P ke bidang BDHF = jarak titik P ke garis BD  ⇒ PQ.
rusuk = a = 12
CP : DP = 1 : 3  ⇒  DC : CP = 2 : 1
DC = 12  ⇒ CP = 6
DP = DC + CP = 12 + 6 =18
BD = a√2 = 12√2

Perhatikan segitiga BDP

Dengan menggunakan rumus luas segitiga diperoleh :
$\frac{1}{2}$ × BD × PQ = $\frac{1}{2}$ × DP × BC
 BD × PQ = DP × BC
12√2 × PQ = 18 × 12
⇒ PQ = 9√2

Jawaban : B


6. UN 2012
Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jarak titik H ke bidang ACF adalah ...
A.  $\frac{2}{3}$√3  cm
B.  $\frac{4}{3}$√3  cm
C.  $\frac{11}{3}$√3  cm
D.  $\frac{8}{3}$√3  cm
E.  $\frac{13}{3}$√3  cm

Pembahasan :

Jarak titik H ke bidang ACF = jarak titik H ke garis OF = jarak titik H ke titik P  ⇒ HP.
rusuk = a = 4
OF = OH = $\frac{a}{2}$√6 = 2√6
FH = a√2 = 4√2
OQ = a = 4

Perhatikan segitiga OFH

HP dan OQ merupakan garis tinggi, sehingga dengan menggunakan rumus luas segitiga akan diperoleh persamaan sebagai berikut ;
$\frac{1}{2}$×OF×HP = $\frac{1}{2}$×FH×OQ
OF × HP = FH × OQ
2√6 × HP = 4√2 × 4
⇒ HP = $\frac{8}{3}$√3

HP = $\frac{2}{3}$ × HB
HP = $\frac{2}{3}$ × a√3
HP = $\frac{2}{3}$ × 4√3
HP = $\frac{8}{3}$√3

Jawaban : D


7. UN 2013
Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm. Jarak titik B ke CE adalah ...
A.  $\frac{1}{2}$√3  cm
B.  $\frac{1}{2}$√6  cm
C.  3√3  cm
D.  2√6  cm
E.  4√6  cm

Pembahasan :

Jarak B ke CE adalah BP
a = 6
BC = a = 6
BE = a√2 = 6√2
CE = a√3 = 6√3

Perhatikan Δ BCE siku-siku di B

BP = $\frac{BC\times BE}{CE}$
BP = $\frac{6\times 6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}$
BP = 2√6

Jawaban : D


8. UN 2014
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB = 4 dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT = ...
A.  $\frac{1}{14}$√14  cm
B.  $\frac{2}{3}$√14  cm
C.  $\frac{3}{4}$√14  cm
D.  $\frac{4}{3}$√14  cm
E.  $\frac{3}{2}$√14  cm

Pembahasan :

Jarak C ke AT adalah CP
AT = CT = 6
AC = 4√2

Perhatikan  Δ ACT

AP = $\frac{A{T}^2+A{C}^2-C{T}^2}{2\times AT}$
AP = $\frac{6^2+{\left(4\sqrt{2}\right)}^2-6^2}{2\times 6}$
AP = $\frac{8}{3}$

Perhatikan Δ APC siku-siku di P
CP = $\sqrt{A{C}^2-A{P}^2}$
CP = $\sqrt{{\left(4\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\frac{8}{3}\right)}^2}$
CP = $\frac{4}{3}\sqrt{14}$

Jawaban : D


9. UN 2004
Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah ... cm.
A.  2√3
B.  4
C.  3√2
D.  2√6
E.  6

Pembahasan :

Jarak DH ke AS adalah HS, karena HS tegak lurus terhadap DH dan AS.
rusuk = a = 6
HF = a√2 = 6√2
HS = $\frac{1}{2}$. HF
HS = $\frac{1}{2}$. 6√2
HS = 3√2

Jawaban : C


10. UN 2007
Diketahui sebuah kubus ABCD. EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan BDHF adalah ...
A.  90°
B.  60°
C.  45°
D.  30°
E.  15°

Pembahasan :

Misalkan sudut yang dibentuk oleh BG dengan BDHF adalah β.
rusuk = a
BG = EG = a√2
PG = $\frac{1}{2}$ × EG = $\frac{a}{2}$√2

Perhatikan Δ BPG siku-siku di P
sin β = $\frac{PG}{BG}$ = $\frac{\frac{a}{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}$

Karena sin β = $\frac{1}{2}$, maka β = 30°

Jawaban : D


11. UN 2008
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah α, maka sin α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√3
B. $\frac{1}{2}$√2
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{1}{2}$E. $\frac{1}{3}$√2

Pembahasan :



Sudut antara AG dengan bidang alas ABCD adalah α.
rusuk = a = 6
CG = a = 6
AG = a√3 = 6√3

Perhatikan Δ ACG siku-siku di C
sin α = $\frac{CG}{AG}$ = $\frac{6}{6\sqrt{3}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : C


12. UN 2009
Balok ABCD. EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q terletak pada EG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika α adalah sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√5
B. $\frac{1}{10}$√10
C. $\frac{1}{2}$√10
D. $\frac{1}{7}$√14
E. $\frac{1}{7}$√35

Pembahasan :



Sudut antara PQ dengan ABCD adalah α.
QR = 5
PS = 3
BS = SR = RC = 1
PR = $\sqrt{P{S}^2+S{R}^2}=\sqrt{3^2+1^2}$
PR = $\sqrt{10}$

Perhatikan Δ PQR siku-siku di R
tan α = $\frac{QR}{PR}$ = $\frac{5}{\sqrt{10}}$ = $\frac{1}{2}\sqrt{10}$

Jawaban : C


13. UN 2012
Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST, dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Tangan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ...
A. $\frac{1}{3}$√3
B. √2
C. √3
D. 2√2
E. 2√3

Pembahasan :



Misalkan sudut antara garis PT dan alas QRST adalah θ.
QR = RS = ST = QT = 3
PQ = PR = PS = PT = 3√2
RT = a√2 = 3√2

Perhatikan bahwa PRT adalah segitiga sama sisi karena
PR = RT = PT = 3√2
sehingga θ = 60°
tan θ = tan 60° = √3

Jawaban : C


14. UN 2013
Pada kubus ABCD. EFGH sudut θ adalah sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD. Nilai dari sin θ adalah ...
A. $\frac{1}{4}$√3
B. $\frac{1}{2}$√3
C. $\frac{1}{3}$√6
D. $\frac{1}{2}$√2
E. $\frac{1}{3}$√3

Pembahasan :



Sudut antara bidang BDE dengan bidang ABCD adalah θ.
misalkan rusuk = a
AE = a
EO = $\frac{a}{2}$√6

Perhatikan Δ AOE siku-siku di A
sin θ = $\frac{AE}{EO}$ =$\frac{a}{\frac{a}{2}\sqrt{6}}$ = $\frac{2}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√6

Jawaban : C


15. UN 2014
Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α. Nilai sin α adalah ...
A. $\frac{1}{2}$√2
B. $\frac{1}{2}$√3
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{2}{3}$√2
E. $\frac{3}{4}$√3

Pembahasan :



Sudut antara AE dan bidang AFH adalah α
rusuk = a = 4
EG = a√2 = 4√2
EO = $\frac{1}{2}$ × EG = 2√2
AO = $\frac{a}{2}$√6 = 2√6

Perhatikan Δ AEO siku-siku di E
sin α = $\frac{EO}{AO}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : C


16. UN 2007
Diketahui bidang 4 beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ...
A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$√3
D. $\frac{2}{3}$
E. $\frac{1}{2}$√3

Pembahasan :



Misalkan sudut antara bidang ABC dan ABD adalah θ.

Karena bangun diatas merupakan bidang empat beraturan, pastilah ke-4 bidangnya merupakan segitiga sama sisi.
rusuk (a) = 8
DC = a = 8
PC = PD = $\frac{a}{2}$√3 = 4√3

Perhatikan Δ PCD, dengan aturan cosinus diperoleh :
cos θ = $\frac{P{C}^2+P{D}^2-D{C}^2}{2\times PC\times PD}$
cos θ = $\frac{{\left(4\sqrt{3}\right)}^2+{\left(4\sqrt{3}\right)}^2-8^2}{2\times 4\sqrt{3}\times 4\sqrt{3}}$
cos θ = $\frac{1}{3}$

Jawaban : A


17. UN 2015
Kubus ABCD. EFGH dengan rusuk 12 cm, tangen sudut antara bidang AFH dengan bidang CFH adalah...
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$√2
C. $\frac{2}{3}$√2
D. √2
E. 2√2

Pembahasan :



Misalkan sudut antara bidang AFH dan CFH adalah θ.

Perhatikan segitiga ACP
AP = CP = $\frac{a}{2}$√6 = $\frac{12}{2}$√6 = 6√6
AC = a√2 = 12√2

Dengan aturan cosinus
Cos θ = $\frac{A{P}^2+C{P}^2-A{C}^2}{2.AP.CP}$
Cos θ = $\frac{(6\sqrt{6}{)}^2+(6\sqrt{6}{)}^2-(12\sqrt{2}{)}^2}{2.6\sqrt{6}.6\sqrt{6}}$
Cos θ = $\frac{216+216-288}{432}$
Cos θ = $\frac{1}{3}$

Cos θ = $\frac{1}{3}$
sisi samping = 1
sisi miring = 3
sisi depan = $\sqrt{3^2-1^2}$ = √8 = 2√2
tan θ = $\frac{depan}{samping}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{1}$ = 2√2

Jadi, tangen sudut antara bidang AFH dan CFH adalah 2√2.

Jawaban : E

18. UN 2015
Diketahui kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik M adalah titik tengah AB. Jarak titik E ke CM sama dengan...
A. $\frac{4}{5}$√30 cm
B. $\frac{2}{3}$√30 cm
C. 2√5 cm
D. 2√3 cm
E. 2√2 cm

Pembahasan :



CM = EM = $\frac{a}{2}$√5 = $\frac{4}{2}$√5 = 2√5
CE = a√3 = 4√3
MN = a√2 = 4√2
Karena MN dan CE berpotongan tegak lurus dan sama besar di titik Q, maka
MQ = $\frac{1}{2}$×MN = 2√2

Perhatikan segitiga CEM, ∠M adalah sudut tumpul karena CE2 > CM2 + EM2, sehingga jarak titik E ke CM adalah jarak dari titik E ke perpanjangan CM yaitu EP.

Dengan menggunakan rumus luas segitiga pada segitiga CEM akan diperoleh persamaan sebagai berikut :
$\frac{1}{2}$×CM×EP = $\frac{1}{2}$×CE×MQ
CM × EP = CE × MQ
2√5 × EP = 4√3 × 2√2 (kali √5)
10 × EP = 8√30
EP = $\frac{4}{5}$√30

Jawaban : A


RALAT : 10/8/2017
Yang ditanyakan adalah jarak titik E ke CM, bukan jarak titik E ke perpanjangan CM.
CM adalah ruas garis, dengan titik-titik ujungnya C dan M. Jadi, jarak titik E ke CM adalah jarak terdekat dari titik E ke ruas garis CM, yaitu EM = 2√5 (C)

19. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke garis FD adalah...
A. $\frac{8}{3}$√2 cm
B. $\frac{8}{3}$√3 cm
C. $\frac{8}{3}$√6 cm
D. $\frac{10}{3}$√6 cm
E. 4√6 cm

Pembahasan :



Jarak titik E ke garis FD adalah EP.

Perhatikan segitiga DEF siku-siku di E
EF = 8
DE = 8√2
DF = 8√3



EP = $\frac{DE\times EF}{DF}$
EP = $\frac{8\sqrt{2}\times 8}{8\sqrt{3}}$
EP = $\frac{8}{3}$√6

Jawaban : C


20. UN 2016
Diketahui kubus ABCD EFGH dengan AB = 16 cm. Nilai sinus sudut antara garis AH dengan bidang BDHF adalah...
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$√3
C. $\frac{1}{2}$√2
D. $\frac{1}{2}$√3
E. $\frac{1}{3}$√6

Pembahasan :



Misalkan sudut yang dibentuk oleh AH dengan BDHF adalah θ.
rusuk = a = 16 cm
AH = AC = a√2 = 16√2
AP = $\frac{1}{2}$×AC = 8√2

Perhatikan Δ AHP siku-siku di P
sin θ = $\frac{AP}{AH}$ = $\frac{8\sqrt{2}}{16\sqrt{2}}$ = $\frac{1}{2}$

Jawaban : A

UPDATE 21/10/17

Untuk Ujian Nasional matematika IPA tahun 2017, materi dimensi tiga dikeluarkan sebanyak 4 soal dalam satu paket.

21. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 6 cm. Jika α adalah sudut antara bidang AFH dan bidang BDHF, nilai sin α = ...
A.  1/2
B.  1/3 √3
C.  1/2 √2
D.  1/2 √3
E.  2/3 √2

Pembahasan :

AC = a√2 = 6√2
AP =  $\frac{1}{2}$. AC = 3√2
AO = $\frac{a}{2}$√6 = 3√6

Perhatikan segitiga AOP siku-siku di P.
sin α = $\frac{AP}{AO}$ = $\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√3

Jawaban : B


22. UN 2017
Diketahui kubus KLMN.OPQR dengan panjang rusuknya 6 cm. Jarak titik M ke bidang LNQ adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  3√2  cm
D.  3√3  cm
E.  4√3  cm

Pembahasan :
Jarak M ke LNQ = jarak M ke QS, yaitu MT.

SM = $\frac{1}{2}$. KM = 3√2
MQ = 6
SQ = $\frac{a}{2}$√6 = 3√6

Perhatikan segitiga SMQ siku-siku di M. Pada segitiga siku-siku, jarak dari titik sudut siku-siku ke sisi miringnya adalah hasil kali dari kedua sisi siku-siku dibagi sisi miring.
Jadi, MT = $\frac{SM\cdot MQ}{SQ}$ = $\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}$ = 2√3

atau

MT = $\frac{1}{3}$. MO = $\frac{1}{3}$. 6√3 = 2√3

Jawaban : B


23. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak dan panjang rusuk alas 4 cm. Jarak titik A ke TB adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  4  cm
D.  4√2  cm
E.  4√3  cm

Pembahasan :
Jadi, jarak titik A ke TB adalah AP.

Perhatikan segitiga sama sisi ABT dengan panjang sisinya 4 cm. Pada segitiga sama sisi yang panjang sisinya a, jarak dari titik sudut ke sisi di depannya adalah $\frac{a}{2}$√3.

Jadi, jarak titik A ke TB adalah
AP = $\frac{4}{2}$√3 = 2√3

Jawaban : B



24. UN 2017
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk tegak 6√2 cm dan panjang rusuk alas 6 cm. Jarak titik A ke TC adalah ...
A.  2√2  cm
B.  2√3  cm
C.  3√2  cm
D.  3√3  cm
E.  3√6  cm

Pembahasan :
Jarak titik A ke TC adalah AP.

AC = a√2 = 6√2
Karena AC = TC = AT, maka ACT adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6√2.

Jadi, AP = $\frac{6\sqrt{2}}{2}$√3 = 3√6

Jawaban : E


25. UN 2017
Diketahui limas alas segiempat beraturan T.ABCD. Panjang rusuk tegak = rusuk alas = 4 cm. Sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah ...
A.  15°
B.  30°
C.  45°
D.  60°
E.  90°

Pembahasan :
Misalkan sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD adalah α.

AC = 4√2
AO = $\frac{1}{2}$. AC = 2√2
AT = 4

Perhatikan segitiga AOT siku-siku di O.
cos α = $\frac{AO}{AT}$ = $\frac{2\sqrt{2}}{4}$ = $\frac{1}{2}$√2
Karena cos α = $\frac{1}{2}$√2 maka α = 45°

Jawaban : C


26. UN 2017
Diketahui limas segienam beraturan T.ABCDEF rusuk alasnya 6 cm dan tinggi limas 6√3 cm. Nilai sinus sudut antara rusuk tegak dan bidang alas limas adalah ...
A.  1/3 √2
B.  1/2
C.  1/3 √3
D.  1/2 √2
E.  1/2 √3

Pembahasan :
Misalkan sudut antara rusuk tegak dengan bidang alas adalah α.

Perhatikan segitiga COT siku-siku di O.
CT = $\sqrt{{\left(CO\right)}^2+{\left(OT\right)}^2}$
CT = $\sqrt{{\left(6\right)}^2+{\left(6\sqrt{3}\right)}^2}$
CT = 12

sin α = $\frac{OT}{CT}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{12}$ = $\frac{1}{2}$√3

atau

tan α = $\frac{OT}{CO}$ = $\frac{6\sqrt{3}}{6}$ = √3
Karena tan α = √3, maka α = 60°
Jadi, sin α = sin 60° = $\frac{1}{2}$√3

Jawaban : E


27. UN 2017
Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan α adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Nila sin α adalah ...
A.  1/6 √6
B.  1/3 √3
C.  1/2 √2
D.  1/3 √6
E.  1/2 √3

Pembahasan :

CG = a = 12
OG = $\frac{a}{2}$√6 = 6√6

Perhatikan segitiga OCG siku-siku di C.
sin α = $\frac{CG}{OG}$ = $\frac{12}{6\sqrt{6}}$ = $\frac{1}{3}$√6

Jawaban : D